逻辑回归是机器学习中的一种分类模型，在现实中应用非常广泛。在这篇文章中，我们主要关注逻辑回归算法的模型、参数求解和公式推导，其中涉及到代价函数、最大似然估计、梯度下降等关键知识。同时讨论逻辑回归在多分类问题中的应用，以及过拟合问题的优化。

一、基础理论

1、模型表示

逻辑回归是机器学习中的一种分类模型，在实际中应用非常广泛，该模型的输出值始终在0和1之间。

逻辑回归模型的假设是：

\[
h(X)=g(\theta^T X)
\]

其中：X代表输入变量（特征变量），g代表逻辑函数（sigmod函数），其公式为：

\[
g(z) = \frac{1}{1 + e ^ {-z}}
\]

其对应函数图像如下：

用概率的方式来描述，即已知参数θ和数据x的情况下，其分类为y=1或y=0的概率大小，如下：

\[
P(y=1|x;\theta) =h(x)= g(\theta^T x) = \frac{1}{1 + e ^ {-\theta^T *x}}
\]

\[
P(y=0|x;\theta) =1 - h(x)
\]

2、判定边界

模型h(X)的返回值始终处在0和1之间，其实也就是表示数据属于某一个分类的概率，例如：

h(X) >= 0.5时，y=1

h(X) <  0.5时，y=0

备注：这里选择0.5作为阈值，只是一般的做法，在实际应用中，可以根据实际情况选择不同的阈值。

由上图，可以知道

z=0时，g(z)=0.5

z>0时，g(z)>0.5

z<0时，g(z)<0.5

又，所以：

假如有一个模型其数据分布如下：

由上面的结论可知，当，y=1；当时，y=0。所以是模型的分界线。

如果数据程下面这样分布，则其模型可以假设为：

 

3、最大似然估计

3.1最大似然估计法基本概念

在继续将代价函数之前，我们需要介绍一下最大似然估计的概念。

若总体X属于离散性，其分布律P{X=x}=p(x;θ)，θ∈Θ的形式为已知，θ为待估参数，Θ是θ可能取值的范围。

设是来自X的样本，则的联合分布律为：

\[
\prod P(x;\theta)
\]

又设是相应于的一个样本值，则取到观察值的概率，即事件：发生的概率为：

这一概率随着θ而发生变化，它是θ的函数，L(θ)称为样本的似然函数（注意，这里是一只的样本值，它们都是常数）

固定样本值，在θ的可能取值范围内，找到使得似然函数L(θ)达到最大值的参数值，作为参数θ的估计值。即取使：

这样得到的与样本值有关，常记为，称为参数θ的最大似然估计值，而相应的统计量称为参数θ的最大似然估计量。

 

3.2 梯度下降与最大似然估计

根据上式，我们知道分类为1和0时的概率如下。

\[
P(y=1|x;\theta) =h(x)
\]

\[
P(y=0|x;\theta) =1 - h(x)
\]

合并之后，可得事件发生（分类）的概率如下：

取其似然函数为：

取对数似然函数为：

我们知道最大似然估计就是找到参数θ，是的l(θ)取得最大值。这里我们变换一下，令:

这里乘了一个负的系数-1/m，则我们就可以通过梯度下降算法进行参数求解，找到使得J(θ)取得最小值时的参数θ，这时l(θ)取得最大值。

 

4 代价函数

4.1 代价函数及其推到

逻辑回归模型：

在《线性回归》一文中，我们知道线性回归的代价函数就是所有模型误差的平方和。如果对逻辑回归模型，也套用这个定义，把带入到线性回归的代价函数，那么我们最终得到的是一个非凸函数（如下图左边）

这意味着代价函数存在多个局部最小值，当使用梯度下降算法的时候，会影响到寻找全局最小值。

线性回归的代价函数：

 

我们重新定义逻辑回归的代价函数：

通过3.2的分析，我们可以知道：

则：

所以，逻辑回归的代价函数如下：

如果拆开来的话，可以按如下表示：

4.2 代价函数的矩阵表示

我们将上面的代价函数J(θ)做下转换：

我们将J(θ)分成两部分进行推导：

所以代价函数的矩阵表示形式如下：

 

5 梯度下降算法（逻辑回归）

在3.3中，我们推导出了代价函数，这里，代价函数是一个凸函数，并且没有局部最优值，凸优化问题这里我们不展开讲。

接下来，我们通过梯度下降算法来求导使得代价函数最小的参数。

梯度下降算法为：

求导后得到：

其推到过程如下：

我们可以发现，这个逻辑回归的梯度下降算法跟线性回归的梯度算法很类似，但是由于，这里两者还是有一定区别的。

 

6 梯度下降算法的矩阵描述方式（逻辑回归）

在3.4中，我们推导出了梯度下降算法的代数表示方式，接下来这一节，我们来推到出梯度下降算法的矩阵描述方式。

首先，约定几个矩阵的表示形式：

令：

综合起来：

 

二、进阶

1、多类别分类

在上面的介绍中，我们分析了二元分类的问题，那么如果要多多类别的进行分类要怎么处理呢。例如用y=1、y=2、y=3和y=4来做代表。

现在我们有一个训练集，其分类如上图所示，有3个类别，我们分别用y=1、y=2和y=3分别表示三角形、正方形和叉叉。

下面要做的就是通过训练集来将其分成3个二元分类的问题。

首先从类别1开始，我们可以创建一个新的训练集，设定类型1为正类，类型2和类型3为负类，如下图，我们要拟合出一个合适的二元分类器。这里，三角形代表正样本，原型代表负样本。

下面，我们通过训练一个标准的逻辑回归分类器，得到一个边界。

我们将多个类中的一个类标记为正向类（y=1），然后将其他类都标记为负向类，这个模型记为：。类似地选择另一个类标记为正向类（y=2），其他类都标记为负向类，这个模型记为：，以此类推。

最后，我们可以得到一系列的模型，简记为：。

最后，在需要做预测的时候，我们将所有分类机都运行一遍，然后对每一个输入变量，都选择其中最高可能性的输出变量。

所以，在上例中，我们要做的就是在3个分类器中输入x，然后选择一个让最大的i，即，从而得到输出变量y，及其类别。

2、过拟合问题

我们已经学习了线性回归和逻辑回归的机器学习算法，他们能有效的结局额很多问题。但是，在实际应用中，会遇到过拟合的问题，从而导致他们的预测效果很差。

如下图所示，第一个模型是线性模型，拟合效果较差；第三个模型是一个四次方的模型，对原始数据拟合的很好，但是对新的数据预测效果则很差，也就是出现了过拟合的问题。

在逻辑回归的分类问题中，也存在一样的问题。

如果使用的模型函数中，x的次数越过，则拟合的越好，但是相应的预测能力则变差。

解决过拟合问题，有两种方法，分别是：

（1）丢弃一些不重要的特征，例如PCA方法。

（2）正则化，保留所有特征，但是减少参数的大小。

下面讲讲正则化的处理方法。

带正则化的损失函数：

矩阵化的损失函数：

偏导：

偏导（向量化）：

所以，正则化的梯度公式为：

其向量表示为：

参考：

[1] AndrewNg的机器学习教程

[2]  Logistic Regression（逻辑回归）原理及公式推导

[3] 逻辑回归模型(Logistic Regression, LR)基础

[4] 机器学习之逻辑回归(纯python实现)

[5] 一步步用python实现Logistic回归

[6] 概率论与梳理统计（浙大第四版）

[7] Logistic Regression 模型简介